Puedes probar de hacer la consulta directamente:
Código PHP:
mysql_query("INSERT INTO CambioFecha (dia_cambio, mes_cambio, año_cambio) VALUES ('$DiaCambio', '$MesCambio', '$AnioCambio')") or die(mysql_error());
Como puedes ver, he puesto un '$' que te habías dejado y a parte he añadido or die(mysql_error()) que te permitirá saber cual es el problema por el que no se añade a la base de datos.