Independientemente de como lo utilices, te recomiendo leas el manual de PHP, no es posible mantener una conexión por sesiones, aunque tu guardes el identificador:
Código PHP:
$_SESSION['link'] = $link; // asumiendo que $link esta a la base de datos
PHP cerrara la conexión y no estará disponible en tus paginas siguientes.
Ahora utilizándolas por pagina o por función es lo mismo, ya que ambas se ejecutan en el mismo ámbito y aunque tu llames múltiples veces a una función que conecte, si no cierras la conexión PHP utiliza la misma conexión activa (no se conecta múltiples veces, a menos que tu lo forces pasándole el parámetro bool $new_link).
Saludos.