Estas haciendo los if comparando con distinto, compara con igual.
Código PHP:
<?php
include_once("proyectos.php");
if ($session["name"] == $mandante_ebpe){
include_once( "am_modules/mandante/base_ebpe.php");
include_once( "am_modules/mandante/cons_ins_ebpe.php");
}else{
if ($session["name"] == $mandante_ole){
include_once( "am_modules/mandante/base_ole.php");
include_once( "am_modules/mandante/cons_ins_ole.php");
}
}
?>