El problema es que tu en tu update, debes de pasarle el ID del servicio que vas a actualizar, y lo haces con la sintaxis IN:
Código PHP:
$sql="update servicios set deuda='si' WHERE id_servicio IN (1, 2, 3, 4)";
$result = mysql_query($sql);
Así que primero debes de calcular que IDs vas a actualizar a deuda, y después haces el update.
Saludos.