yo lo haria con un ciclo... demas de permitir mas de 1 archivo....
 
primero, necesitas usar <input name="archivos[]" type=""/>
(en este caso name[], para especificarse como arreglo)  
 Código PHP:
    <?php
require("class.phpmailer.php");
if ($_POST['action'] == "send") {
    $mail = new PHPMailer();
    $mail->Host = "localhost";
    $mail->From = $_POST['destino'];
    $mail->Subject = $_POST['asunto'];
    # $mail->AddAddress([email protected]); // esto esta mal
    $mail->AddAddress("[email protected]"); // OK? (comillas)
    
    foreach ($_FILES['archivos'] as $file)
    {
        $varname = $file['name'];
        $vartemp = $file['tmp_name'];
        
        if (!empty($varname) && is_file($vartemp)) {
            $mail->AddAttachment($vartemp, $varname);
        } 
    }
    
    // listo?
}
?>       por cierto, te faltaba una llave... final