He cambiado todos los '$HTTP_POST_VARS', por '$_POST', excepto los de los 'if', y las comillas dobles por comillas simples en las variables de los campos de formulario, pero sigue sin enviarse el formulario, ni redireccionarme a otra página.
He puesto antes del 'if' ese del '(!$HTTP_POST_VARS)', y sí que me muestra el contenido de las variables como debía, y dentro del formulario la asignación de las variables es más o menos igual que en lo anterior, la única diferencia con el código del mensaje del principio, son los cambios del primer párrafo, con lo que quedaría así la cosa ahora:
Código PHP:
$cuerpo = "<h1><u>Reserva de Mesa</u></h1>";
$cuerpo .= "Fecha de reserva: " . $_POST['Dia'] . " de " . $_POST['Mes'] . " a las " . $_POST['Hora'] . "<br>";
$cuerpo .= "Número de comensales: " . $_POST['Comensales'] . "<br>";
// dirección del remitente, la cogemos del campo del formulario al respecto
$headers .= "From: " . $_POST['Email'] . "\r\n";
Sin embargo, sigue sin enviarse.