Te lo permite, pero tienes que saltarlo, pues ese apóstrofe sirve para indicar principio y final de cadena.
Lo puedes escribir así:
\'
la barra invertida sirve para saltar y usando esa barra antes lo introduce en la base.
Mira esta lista de signos que hay que saltar mediante la barra:
http://dev.mysql.com/doc/refman/5.0/...ng-syntax.html
Luego, según el programa que uses para cargar los datos, hay funciones que te incluyen en la cadena escrita en el formulario los saltos antes de pasarlo a la base de datos, es decir, sin necesidad de que tú los escribas, pero eso dependerá del programa que uses.