Código:
DELIMITER $$
CREATE TRIGGER trigger_cambios
BEFORE UPDATE ON componentes
FOR EACH ROW
BEGIN
INSERT INTO cambios( componenteviejo, componentenuevo, usuario, fecha_cambio )
VALUES (OLD.num_serie, NEW.num_serie, NEW.id_persona, NOW( ) );
END$$
DELIMITER ;
No está cerrado el trigger, falta el END
DELIMITER es para cambiar momentaneamente el termiandor de sentencia para poder enviar el conjunto completo del script en una sola carga.