Hola en principio seria modificar el codigo un poco, cambiar el boton de "submit" a " button" si no el formulario se enviara. Ademas le he asignado una ID a cada campo de formulario.
En este ejemplo utilizo document.getElementById aunque hay otras formas de hacerlo
Código PHP:
<form name="form1" method="post" action="">
<p>Numero 1:
<input type="text" id="textfield" name="textfield">
</p>
<p>Numero 2:
<input type="text" id="textfield2" name="textfield2">
</p>
<p>
<input type="button" name="Submit" value="Sumar" onclick="suma()">
</p>
<p>El Resultado es:
<input type="text"id="textfield3" name="textfield3">
</p>
</form>
y el javascript
Código PHP:
<script language="JavaScript" type="text/javascript">
function suma(){
var numero1 = document.getElementById("textfield1").value;
var numero2 = document.getElementById("textfield2").value;
var resultado = numero1 + numero2;
document.getElementById("textfield3").value = resultado;
}
</script>
Aunque no lo he probado creo que asi te funcionara