Enviar email con destinatario, pero no me envia el cuerpo del mensaje

[GatorV]

Pues lo haces tal y como en tu código usando $_POST['nombre_del_campo_de_tu_formulario'], es decir:

Código php:

$mail->body = $_POST['mail'];
 

O algo por el estilo, todo depende de tu formulario y de tu script.

Si no sabes sobre como enviar variables a un script PHP lo mejor es que estudies el manual de PHP: Variables de fuentes externas.

Saludos.