A ver, cuando hago var_dump($this->search_regex); me devuelve:
string(65) "/
(.*)<\/div><\/div>/"
var_dump($match); //devuelve array(0) { }
var_dump($result); // int(0)
var_dump($output); Devuelve
string(25612) " más el contenido de esta url
http://babelfish.yahoo.com/translate_txt con el texto en español.
Ya encontré la solución:
$this->search_regex='/<div id="result"><div style="padding:0.6em;">(.*)<\/div><\/div>/
sm';
Sólo tenía que añadir lo marcado con rojo, así sí funciona el preg_match.
Gracias GatorV por tu ayuda.