Pues tienes tres opciones:
1- SESIÓN
Con esta iniciarías una sesión
Código PHP:
session_start()
Y guardas el nombre de usuario, por ejemplo, en una variable
Código PHP:
$_SESSION['user'] = $_POST['user'];
Este método te sirve sólo si quieres que el user este logueado mientras mantenga abierto el navegador. Si quieres que su sesión se recuerde durante, por ejemplo, una semana, usa el método 3.
2- COOKIES
Tendrías que guardar el nombre de usuario en una cookie. Es recomendable que lo encriptes por seguridad. Yo no te recomiendo este método, es mejor que uses el 1 o el 3.
3- SESIÓN + COOKIES
Es una convinación de las anteriores. Por ejemplo, guardarías en una cookie el id del usuario, y el resto de datos los rescatarías cada vez que el user entre en tu web.
Espero que te sirva para algo esto ;)