Hola:
Verás, los formularios tienen unas cosillas básicas, y una de las más importantes es el atributo action, que al igual que el href de los enlaces (tag a), indican donde deberían ir... lo normal es procesarlo en el servidor con lenguajes como php, tal como te han indicado, pero sin php puedes provocar la llamada al gestor de correos del visitante poniendo a ese action tu correo precedido por el protocolo mailto:...
<form action="mailto:
[email protected]" ...>
Otra cosa es el método, que según el volumen de datos y otros detalles como la privacidad, pueden ser get o post (para formularios sencillos puede ser suficiente get, y usando el protocolo get, es el único aceptado (creo recordar)...
Para cosas más complejas como envío de adjuntos ya tienes que estudiarte el enctype (tipo), pero creo que para empezar ya tienes... un enlace:
El abc de los formularios
Saludos
