Probaste sacarle las comillas a '$varc', y poner solo
Código PHP:
$varc = "Jose";
$sql = "DELETE FROM id_usuarios WHERE nombre =$varc";
$consulta_1 = mysql_query($sql,$conexion);
Asi de esa manera directamente te borra el registro que tenga ese nombre almacenado en la variable $varc.
Probalo y nos contas como te fue !!!
Saludos, Ricardo !!!