Vamos a suponer que el nombre que le pusiste a la variable de la base de datos es $conn
Código PHP:
$conn = mysql_connect($SQL_HOST, $SQL_USER, $SQL_PASS) or die();
mysql_select_db(SQL_DB,$conn);
//insertar datos tabla clientes
$r = mysql_query("insert into clientes (cliente) values ('$cliente')");
if($r){
$getID = mysql_insert_id($conn);
}
//insertar datos tabla productos
$r2 = mysql_query("insert into empresas (id_cliente, producto) values ('$getID','$producto')");
//si quieres tambien recoger el id del segundo query lo mismo
if($r2){
$getID2 = mysql_insert_id($conn);
}