quieres decir que al poner
echo $query;
no te muestra nada?, entonces ni siquiera está entrando a esa parte del código, por lo que la consulta no se está ejecutando y no está modificandose nada en la BD, te recomiendo cambies los request, por POST para empezar.
verificaste la conexión a la BD??? Me imagino que la tienes en
require_once('../vars.php');
otra cosa también:
Código PHP:
$query = "UPDATE links SET nombre = '$_REQUEST[nombre]', descripcion = '$_REQUEST[descripcion]', categoria = '$_REQUEST[categoria]', archivo = '$_REQUEST[archivo]', enlace = '$_REQUEST[enlace]' WHERE links.id='$_REQUEST[id]'";
mysql_query ("$query") ---- quitale las comillas,
or die('Invalid query: ' . mysql_error()); ?>
Saludos