El formulario pide la información al usuario, pero es el archivo contact.php quien los procesa en el servidor y envía el mensaje por medio de la funcion mail(). Para probar que tu formulario funcione localmente debes tener instalado el Apache, PHP y un servidor local de mail.
O bien, lo probás en tu sitio, suponiendo que tu hosting tiene PHP y activada la función mail().
Te podría sugerir este sitio:
http://www.formmail-maker.com/generator.php
Aquí podés crear tu formulario en línea y también te va a generar el archivo php que podés usar perfectamente en tu sitio, incluso te crea un archivo administrador para ver los mensajes enviados en línea, sin necesidad de ningún webmail.
Andá probando las opciones y campos que tiene y verás la presentación profesional tanto del formulario como la de los mensajes.
Mirá como queda tu formulario haciéndolo allí:
http://www.formmail-maker.com/ini/20...-4249/form.php