Después de buscar, recontrabuscar, probar, aprender y siguiendo la idea de
conkerick y antes de que publicara su ejemplo... hice esto y funciona, tanto en localhot como en el Servidor.
No se, por ahí alguien que sepa más, me dirá si está bien o es una chapusería!!!
Código PHP:
$_SESSION["nombre"] = $nombre; {
echo"Lo que quieras que aparezca escrito";
$archivo = "tuarchivo.txt";
$fecha = date('d-m-Y');
$fd = fopen($archivo, "a");
fwrite($fd, "$fecha, $nombre\n\r");
}