Hola, pues el outlook, no lo puedes ver en internet a no ser que hagas una conexion remota. pero creo que en tu caso no puedes pues tendras que tenerlo configurado para ese fin.
Otra cosa es ver tu correo, (el que tengas configurado en el outlook), eso depende del servidor que tengas contratado y del servicio que uses.
Muchos se las empresas de hosting usan webmail, sobre todo si tienes dominio propio.
por ejemplo si tu dominio es
www.pepe.es, puedes acceder al correo poniendo la direccion mail.pepe.es, y luego poner tu correo y tu contraseña.
Aun asi a no ser que lo tengas configurado en el outlook para que no borre los mensajes del servidor (yo lo tengo asi), no podras ver correo viejo. solo el nuevo que no hallas descargado y enviar porsupuesto.
Como ves no se si te arreglo nada pues todo depende como trabaje tu servidor.