si dejas el campo vacio de action="" automaticamente te redirecciona a la misma pagina
ahora silo que quieres es que el usuario se quede en la misma pagina puedes hacer 3 cosas
1) mandar a la pagina que procesa y al final del archivo ponerle un header
Código PHP:
header('Location: PaginaALaQueDebeIrElUsuario.php')
2) en el target del form puedes ponerle target="_blank" y se abrira en una pagina aparte y puedes cerrarla automaticamente despues deprocesar tu php con javascript
3) Hacer una conexion con Ajax que te procese el formulario sin necesidad de que te cambies de pagina.