Gracias, probe el codigo pero no me funciono como deberia.
En el 
index.html me muestra el formulario y el link "Desconectar" al mismo tiempo, luego me logueo exitosamente y me manda a 
validar_usuario.php y me dice que he ingresado exitosamente y muestra mis nombres y apellidos y luego me dirigo al 
index.html pero aqui nuevamente me muestra el formulario y "Desconectar".
Siendo que deberia de mostrarme solo "Desconectar".
Aqui dejo el codigo.  
index.html  Código PHP:
    <?php
    session_start();
 
    echo "Bienvenido";
 
    if($_SESSION["username"] != "")
    {
        ?>
        <form method="POST" action="conexion/validar_usuario.php">
        Usuario<input type="text" name="usuario" size="20" maxlength="20">
        <br>
        Contraseña<input type="password" name="password" size="20" maxlength="20">
        <br>
        <input type="submit" name="accion" value="Ingresar">
        </form>
        <?php
    }
    else
    {
        echo "Estas logueado como $_POST['nombres']";
        echo "\n";
        echo 'Bienvenido'.$_SESSION['nombres'].;
        echo "$_POST['nombres']";?>
        <p><a href="conexion/logout.php">Desconectar</a></p>
        <?php
    }
    ?>    
  validar_usuario.php 
 Código PHP:
    <?php
session_start();
 
include("conex.phtml");
$link=Conectarse();
 
function quitar($mensaje)
{
    $nopermitidos = array("'",'\\','<','>',"\"");
    $mensaje = str_replace($nopermitidos, "", $mensaje);
    return $mensaje;
}     
 
if(isset($_POST["usuario"]) && !empty($_POST["usuario"]) && ($_POST["password"]) && !empty($_POST["password"]))
{
    $usuario = strtolower(htmlentities($_POST["usuario"], ENT_QUOTES));   
    $password = $_POST["password"];
     
 
    $result = mysql_query('SELECT password, username, nombres, apellidos1, apellidos2 FROM usuarios WHERE username=\''.$usuario.'\'');
    if($row = mysql_fetch_array($result))
    {
        if($row["password"] == $password)
        {
 
            $_SESSION["username"] = $row["username"];
            $_SESSION["nombres"] = $row['nombres'];
            $_SESSION["apellidos1"] = $row['apellidos1'];
            $_SESSION["apellidos2"] = $row['apellidos2'];
           
            echo 'Has sido logueado correctamente '.$_SESSION['nombres']. $_SESSION['apellidos1']. $_SESSION['apellidos2'].' <p>';
            echo '<a href="../../index.html">Index</a></p>';
            
        }
        else
        {
            echo 'Password incorrecto';
        }
    }
    else
    {
        echo 'Usuario no existente en la base de datos';
    }
    mysql_free_result($result);
}
else
{
    echo 'Debe especificar un usuario y password';
}
mysql_close();
?>