Hace tiempo estuve intentándolo y tampoco lo conseguí pero lo he vuelto a intentar y ahora sí que me funciona correctamente. 
Necesitaba comparar la contraseña que me introducían con la almacenada en un foro phpbb3. Este es el resultado:  
 Código PHP:
     
    // Poner vuestros valores
    $localhost = 'localhost';
    $username = 'username_db';
    $password = 'pass';
    $db_name= 'name_db';
 
  mysql_connect("$localhost", "$username", "$password")or die("cannot connect");
  mysql_select_db("$db_name")or die("cannot select DB");
 
  $username=$_POST["username"];
  $password=$_POST["password"];
 
  $username = stripslashes($username);
  $password = stripslashes($password);
  $username = mysql_real_escape_string($username);
  $password = mysql_real_escape_string($password);
 
define('IN_PHPBB', true);
include("phpbb3/includes/functions.php"); // Poner vuestra ruta a este archivo
 
$sql = "SELECT * FROM phpbb_users WHERE username='".$username."'";
$result = mysql_query($sql);
$row = mysql_fetch_array($result);
mysql_free_result($result);
 
if (!$row)
{
   // Usuario no existe
}
 
if (!phpbb_check_hash((string) $password, $row['user_password']))
{    
   echo "COMPARACION FALLIDA";
}
else
{     
    echo "COMPARACION CORRECTA";
}