Listo, poco a poco lo he ido mirando. Al final mi error estaba en utilizar comillas simples para el query y doble comilla para la variable, cuando tenía que haber sido al revés. Les pego el código correcto por si acaso...yo qué se :)
Código PHP:
$fecha = date('Y-m-d');
$query = "SELECT visitas FROM visita WHERE hora = 13 AND fecha = '$fecha' ";
$restult = mysql_query($query) or die(mysql_error());
$visitantes = mysql_fetch_array($restult);
y muestro la variable con esto:
Código PHP:
echo $visitantes['visitas'];
Muchisimas gracias por la ayuda!!!!