Cita: el peso se ha multiplicado casi por 4 veces al peso original de los archivos!!
Es esto normal o algo estoy haciendo mal.
No es normal, quizás se generó corrupto, pasa en algunos casos. Lo ideal es que uses un full backup generado en el host anterior, con el full backup se transfieren todos los datos, emails, bases de datos y todo el contenido de la web, luego lo entregas a tu proveedor de hosting nuevo y ellos deberían ser capaces de levantarlo sin problemas.
Saludos,