Hola,
Mírate
este hilo para lo de la cuenta regresiva.
Sobre lo de hacer que empiece a una hora determinada, cuando el usuario intente hacer el examen, tienes que comparar la hora de la petición con la que hay en tu tabla de la BBDD o donde lo tengas gardado, y lo mismo para la hora de finalización del examen.
Cuando sea la hora de acabar el examen haces un submit del formulario y listos.
Esto sería una forma de hacerlo, pero hay de más curradas si quieres dejarlo fino fino. Pero con esto te funcionaría seguro.
Saludos.