La primera parte solo te saca un registro porque no los recorres todos. Lo solucionas asi:
$informacion = conexion("SELECT * FROM mensajes WHERE destinatario = '$usuario'");
while( $datos = mysql_fetch_array($informacion)){
echo "<div id=\"mensaje\">";
echo "<p><b>Remitente:</b> ".$datos['remitente']."</p>";
echo "<p><b>Fecha:</b> ".$datos['fecha']."</p>";
echo "<p><b>Asunto:</b> ".$datos['asunto']."</p>";
echo "<p><b>Contenido:</b> ".$datos['mensaje']."</p>";
echo "</div>";
}