Creo que usando 'PHP SESSION' cerrará automáticamente "
the SESSION" cuando el navegador se cierre:
Código PHP:
<?php
if(!isset($_SESSION['sessionvalue'])){
?>
<script>
window.location('loginpage.php');
</script>
<?php
}
?>
Sin embargo esto lo tendrás que aplicar en todas las páginas excepto en la de logueo.
Saludos