Problema al validar un e-mail de un formulario

[Hidek1]

Código PHP:

<?php
if (isset($_POST['nombre']) && ($_POST['mail']) && ($_POST['mensaje']) && 
$_POST['nombre'] != "" && $_POST['mail'] != "" && $_POST['mensaje'] != "") {
  // aqui 
  echo "<b>{$_POST['nombre']}</b>, encantado de saludarte.\n";
  echo "<b>{$_POST['mail']}</b>, vaya correo.\n";
  echo "<b>{$_POST['mensaje']}</b>, buen comentario.\n";
} else {
  if (isset($_POST['submitbutton'])) {
    echo "Por favor rellena todos los campos";
  }
}
?>