fijate como insertas en uno y como lo hace en el otro
Código PHP:
<?php
include_once "conexion/connect.php";
//verificar Datos
if(!is_numeric($_POST["telefono"])){
echo "<script type='text/javascript'>alert('porfavor digite un numero en el campo del telefono'); location.href='./InscripcionEquipos.php'; </script>";
}
//aki dejas el insert en una variable y nunk la llamas
$pk1 = mysql_query("INSERT INTO inscrip_equipos (Nom_Delegado,Nom_Equipo,Cod_Programa,Cod_Grupo_Dep,Ano,Tel,sexo) VALUES ('". $_POST["name_delegado"] ."','". $_POST["equipo_new"] ."',". $_POST["programas"] .",". $_POST["d_deport"] .",". $_POST["txtfechasolicita"] .",". $_POST["telefono"] .",'". $_POST["sexo"] ."')");
$id = mysql_insert_id($pk1);
//aqui haces el query sin variable
mysql_query("INSERT INTO Detalle_Inscrip_Equi (Cod_Inscrip_Equi) VALUES ($id)");
if(mysql_error()==""){
echo "<script type='text/javascript'>alert('Usted se ha Registrado Satisfactoriamente!!');location.href='InscripcionEquipos.php?texto=2';</script>";
}else{
echo "<script type='text/javascript'>alert('Error, Verifique La Información!'); location.href='InscripcionEquipos.php';</script>";
}
mysql_close();
?>
imagino que no te inserta nada y por eso te da error ya que no esta encontrando ninguna id insertada pero no estoy seguro revisa bien como se hace la funcion
http://php.net/manual/es/function.mysql-insert-id.php y ve que resultado te da