Ya creía yo que era otra frase más de mi pueblo de estas que estás acostumbrado a oir desde pequeñito y de repente te das cuenta que llevas taitantos años diciéndolas mal... pero ¡no del todo!
Explicación
"A bote pronto es una especie de construcción adverbial, y a la voz de pronto se utiliza más como imperativo. Aunque pueden cambiar los papeles, creo que de este modo es más correcto."