Vamos por parte, a ver si se puede depurar un poco para que veas los errores por pantalla, parte 1:
Al while le falta el cierre y la variable $row mejor si la escapas, además, te agrego salidas por pantalla (luego las quitas):
Código PHP:
<?php
$sql = "SELECT id, the_date, salida, destino FROM bookings where correo='" . $_POST['correo'] . "' ORDER BY the_date ASC LIMIT 10";
echo "<h3>$sql</h3>"; //Salida por pantalla de la select para que compruebes si se monta bien
$result = mysql_query($sql, $link) or die("Imposible realizar la consulta. ".mysql_error());
while($row = mysql_fetch_array($result)){
echo "<tr> \n";
echo "<td class='borde'>$row[0]</td> \n";//((Cómo recojo esta variable? ara enviarla a borrar.php sin que sea a href?))
echo "<td class='borde'>$row[1]</td> \n";
echo "<td class='borde'>$row[2]</td> \n";
echo "<td class='borde'>$row[3]</td> \n";
echo "<td class='borde'><b><a href='borrar.php?id=".$row[0]."'>Borrar reserva</a></b></td> \n";
}
?>
Ejecuta la sentencia select tal como sale por pantalla en un cliente sql a ver si funciona, si no funciona corrige. Tienes que comprobar el valor de $_POST['correo'] al momento de montar la select, creo que ese es el único problema.
2. Para recoger la variable $row[0] sin que sea por href tienes que meterla en un form, en un campo oculto, pero para enviar el form tienes que poner un botón de enviar. POr ejemplo:
<?php
Código PHP:
$sql = "SELECT id, the_date, salida, destino FROM bookings where correo='" . $_POST['correo'] . "' ORDER BY the_date ASC LIMIT 10";
echo "<h3>$sql</h3>"; //Salida por pantalla de la select para que compruebes si se monta bien
$result = mysql_query($sql, $link) or die("Imposible realizar la consulta. ".mysql_error());
while($row = mysql_fetch_array($result)){
echo "<form action=\"borrar.php\" method=\"post\"><table><tr> ";
echo "<td class='borde'>$row[0] <input type=\"hidden\" name=\"row0\" value=\"".$row[0]."\"></td> ";
echo "<td class='borde'>$row[1]</td> ";
echo "<td class='borde'>$row[2]</td> ";
echo "<td class='borde'>$row[3]</td> ";
echo "<td class='borde'><b><a href='borrar.php?id=".$row[0]."'>Borrar reserva</a></b></td></tr></table></form>";
}
?>
Si la mandas por form, te llegará al script borrar.php como $_POST['row0'], pero necesitas que el usuario le dé al botón. Esto implica un cambio en tu código, no sé si te interesa, lo haces bien por href.
Prueba a ver qué tal, saludos