Pregunta rapida sobregetElentById

[maycolalvarez]

1) usar jQuery no afecta para nada el uso o no de ajax, de hecho, jquery dispone de funciones para ajax ($.ajax, $.post, $.get, entre otras) pero puede usarse perfectamente con una función ajax tradicional

2) no puedes acceder a los valores de la variable arreglo porque está fuera de ámbito, como vez declaras implícitamente la variable al llamarla desde dentro del bloque for (cosa que IE no admite), por ende no está accesible desde fuera de dicho bloque al finalizar el ciclo, debes declararla antes de entrar a ciclo y de forma explicita, como debe hacerse:

Código Javascript:

var checkboxes = document.getElementById('check').checked; //esto solo te devolverá el primero
var arreglo = new Array(); //declaración explicita
for (var i=0; i<checkboxes.length; i++)
{
    arreglo.push(checkboxes[i].value);
}
 

como aquello aún no funciona, porque solo devuelve el primer check, se puede usar getElementsByTagName:

Código Javascript:

//JS puro, sin jQuery ;-)
var checkboxes = document.getElementById('div').getElementsByTagName('input');
var arreglo = new Array(); //declaración explicita
for(var i in checkboxes){
    if(checkboxes[i].type == "checkbox" && checkboxes[i].checked){
        arreglo.push (checkboxes[i].value);
    }    
}
 

como puedes ver jQuery simplifica las cosas, porque el método js puro hay que especificar bastante