No se por que si el trigger esta aplicado a la tabla de cliente , por que razon lo tienes que volver especificar dentro del trigger :s esto te debe de generar un error.
Yo utilizaria esta forma.
Código SQL:
Ver originalDELIMITER $$
CREATE TRIGGER borrar_con_cliente
AFTER DELETE ON cliente FOR EACH ROW BEGIN
DELETE FROM persona WHERE id_persona = OLD.id_persona;
END
$$
DELIMITER ;