1: header con anchura al 100%
En la línea 91 de style.css tiene declarado
ese paddín es el que impide al header ocupar toda la anchura
2:
Al div que contiene el nombre de su página en una imagen no lo flote, con ello el menú se irá a la línea inferior.
Y a continuación dele un referente top/right o left al buscador para posicionarlo.
Sobre el scroll horizontal, debe buscar qué elemento se lo hace aparecer. Seguramente será algún hijo directo del body con anchura 100% y algún margen, padding o borde lateral. Siento no tener más tiempo para buscarlo.