Bueno, no es tema realmente de este foro sino del
Foro de PHP, pero la idea es simple:
Si usas una variable como contenedor de una conexión a una base de datos ($db), para conectarte simultáneamente a dos, ¿que necesitarías?
Exacto: Dos variables diferentes
El primer problema es tener cuidado de no meter la pata y mandar las consultas para la primera base a la segunda y viceversa.
El segundo problema es tener en cuenta que los servicios de hsoting normalmente no te permiten realizar conexiones remotas, como es el caso que planteas, por lo que deberás consultar si puedes hacerlas. Esos son temas de políticas de seguridad de cada servicio.