Noup!, tu web no estará offline a menos que bajes el servicio de tu servidor antiguo antes que los dns refresquen, haz como el mono, "no te sueltes de una rama antes de haberte agarrado de otra"... En pasos ....
1- Sube todos tus archivos al nuevo servidor, sin eliminarlos del anterior.
2- Ahora navega tu sitio en el nuevo servidor para comprobar que todo esté en orden. (los proveedores de tu nuevo hosting tienen que darte una url temporal para que puedas verlo antes de que el dominio sea apuntado)
3- Una vez compruebes que todo está en orden, debes apuntar tu dominio al nuevo servidor, desde el panel administrador de tu dominio, si no sabes como, me imagino que la gente que te provee el servicio lo hará por tí.
4- Debes esperar a que los dns refresquen, dependiendo de tu proveedor de internet puede tardar hasta 3 días y es aqui donde te comentaba que los dns de google refrescan mucho más rápido, por lo tanto puede que tu veas tu sitio en el servidor antiguo mientras que google lo vea en el nuevo, igual, debes estar pendiente haciendo ping desde una terminal (ping
www.tusitio.com) y presta atención a la ip que aparece para ver si es el nuevo o el antiguo servidor.
5- Una vez que te hayas asegurado que el dominio esté apuntando al nuevo servidor puedes eliminar tus archivos del antiguo servidor y darte de baja de ese servicio.
Espero que sea de tu ayuda.