Redirigir un dominio o comprar hosting?

[Gropo]

Hola a todos,

Desde varios años tengo una pagina web con dominio y alojamiento. Para un mejor posicionaminero en los buscadores, hace unos dias compré un nuevo dominio que redirijo a la antigua web. Lo que pasa es que si pongo en cualquier buscador el nuevo nombre de dominio, este no aparece por ningun lado, es como si el dominio nuevo no existiera. Sin embargo, si pongo en la barra de direcciones el nombre del nuevo dominio, si, me redirige bien a la pagina.
Supongo que algo habré hecho mal.
No se que hacer, comprar un alojamiento para el nuevo dominio y trasladar la pagina al nuevo dominio o hay alguna forma de hacer que los buscadores indexen mi nuevo dominio?
Espero haberme explicado bien.

¿Vosotros que opinais?

Muchas gracias de antemano.