No me funciona elemento.tagName

[maycolalvarez]

1-) el textarea no se cierra de esa forma, debe ser <textarea></textarea>
2-) tagName suele devolver en mayúsculas, pero puede variar entre navegadores (no lo he probado), así que para estar seguros usamos toLowerCase
3-) veo que le pasas el id a la función, ¿porque no pasas directamente el objeto y te evitas la búsqueda por DOM?: es más simple y rápido
intenta:

Código Javascript:

function alerta(elemento){ 
    //var elemento = document.getElementById(objeto); // ¿porque no pasas directamente el objeto y te evitas la búsqueda por DOM?
    if(elemento.type == 'text' || elemento.tagName.toLowerCase() == 'textarea'){ 
        alert('Si es input text o textarea'); 
    } 
}
 

Código HTML:

<!-- solo pasamos this -->
<input type="text" id="texto" onclick="alerta(this)"/>
<textarea id="area" onclick="alerta(this)"></textarea>