prueba así:
Código:
<html>
<head>
<title>A simple html form </title>
</head>
<body>
<?php
if (isset($_POST['submit']) || !empty($_POST['submit'])) {
echo "<p>Welcome <b>".$_POST["user"]."</b>!</p>";
echo "<p>Your Message is: <br/><b>".$_POST["message"]."</b></p>";
}
?>
<form action ="" method="POST">
<p><strong>Name:</strong></br>
<input type = "text" name = "user"/></p>
<p><strong>Message:</strong><br/>
<textarea name = "message" rows = "5" cols = "40"></textarea></p>
<p><input type = "submit" name = "sumbit" value = "send"/></p>
</form>
</body>
</html>
el cambio es que la acción se ejecuta en la misma pagina
No olvides cambiar la extensión .html a .php
Saludos