Hay varias opciones.
Una por ejemplo es ponerle un nombre al botón
Código HTML:
Ver original<input type="submit" name="boton_enviar" value="Enviar solicitud" />
y luego comprobar que se ha enviado el formulario mirando si $_POST['boton_enviar'] está incializado
Código PHP:
isset($_POST['boton_enviar'])
en $_POST['action'] se guarda el valor de un elemento con nombre "action" que en tu caso no hay ninguno.