Estas dentro de una funcion, la cual en el momento de ejecución no conoce el contenido de tu variable $link, es por eso que nunca va a ejecutarte ninguna consulta ya que tu variable $link no sabe como realizarlo ya que esta nula.
 
dependiendo lo que desees, prueba hacer la conexion dentro de tu funcion, ejemplo:   
Código PHP:
Ver original- function check_game($game) { 
- //global $link; 
- $Usuario_tmp="tuusuario"; 
- $Password_tmp="tuclave"; 
- $Servidor_tmp="tuserver"; 
- $BaseDeDatos_tmp="tubd"; 
-   
- $link=mysql_connect($Servidor_tmp,$Usuario_tmp,$Password_tmp)-  or  die("Error: Hubo Un Error Con la Conexion a la BD ");
 
-   
-   
- $sql        =  "SELECT * FROM games WHERE name='$game'"; 
- if($row['id'] == ''){  
- return false; 
-  } 
- else { 
- return true; 
- }; 
- }; 
Es por que intentas ejecutar algo que esta fuera del ambito de la funcion. Esto es una solución, a menos que en alguna otra parte de tu sistema tengas a $link como variable global, pero veo que la redefines dentro de la funcion privada unicamente.