Primero, no sé si te entiendo.
Pero vaya, trataré de explicar lo que creo que entiendo...
Quieres que, al presionar el botón, el valor del TextBox se copie a un campo HIDDEN y cuando se haga el submit se envíe ese campo HIDDEN.
Aquí hay varias cosas.
No sé por qué quieres enviarlo a través de un HIDDEN, cuando el propio TextBox ya se está enviando. Por lo tanto en la página de destino lo vas a poder recibir, tanto de una forma como de la otra.
De todas formas, si ese sigue siendo tu interés, justo antes de hacer el submit del formulario, tienes que arrastrar el valor desde el TextBox hacia el campo HIDDEN, para posteriormente, realizar el submit.
Eso se hace con JavaScript.
Mira aquí, por ejemplo:
http://www.w3schools.com/jsref/event_form_onsubmit.asp
Si realmente necesitas hacer eso realiza la pregunta en el foro dse JavaScript, que obtendrás una mejor respuesta.
Saludos.