Hola:
Pues en este sitio Base_de_Datos.java, linea 34 tienes un null pointer exception. Habría que ver ese código exactamente para saber qué está pasando.
De todas formas, te comento un posible problema. Por razones de seguridad, un applet no puede abrir conexiones contra un servidor que no sea el propio servidor en el que está alojado. Por este motivo, posiblemente no puedes abrir conexiones contra db4free.com (la base de datos) y el Connection sea null (en tus catch quizás no escribes la excepción de seguridad que posiblemente esté saltando, dando nullpointerexception más adelante).
las soluciones, o bien pones la base de datos en el mismo servidor que esté alojado tu applet, o bien firmas digitalmente el applet
http://chuwiki.chuidiang.org/index.p...Firmar_Applets
Se bueno.