Revise solo por encima y veo este pequeño error:
Código PHP:
// MAL
$sql = "SELECT * FROM users WHERE NOMBRE=".$usuario."' and PASSWORD='".$clave."'";
// BIEN
$sql = "SELECT * FROM users WHERE NOMBRE='".$usuario."' and PASSWORD='".$clave."'";
Creo que te falta una comilla de apertura al rededor de tu variable $usuario, ¿no?
Por eso es bueno depurar todas nuestras consultas, algo así:
Código PHP:
$result = mysql_query($sql) or die(mysql_error());
Intenta hacer lo mismo con todas tus consultas, igual y te dan una sorpresa.