Es un fallo de sintaxis PHP, si tú pones esto:
echo "<a href=edit_user.php?id=$row['nombre']";
Estás imprimiendo tal cual la cadena que tienes entre dobles comillas. Mírate un manual para concatenar cadenas con variables, pero te avanzo que es así:
"<a href=edit_user.php?id=" . $row['nombre'];
Tampoco es como lo hacías al principio ya que metías un echo dentro de otro echo.
Esto es bastante básico, así que te recomiendo que eches un ojo a un manual.
Un saludo.