Lo que sucede, es que dicho include está dentro de una cadena de texto por lo tanto no se va a ejecutar.
Lo que puedes hacer es capturar dicho include en un buffer, y pasarlo como variable al texto:
Código PHP:
ob_start();
include($_SERVER[DOCUMENT_ROOT] . '/site/vercarrito.php');
$contenido = ob_get_clean();
// ...
$html = "<div>$contenido</div>";