Para la primera pregunta, en enviar.php, cuando termines de realizar las acciones que tengas programadas, tienes que añadir una línea para volver a contacto.html (o cómo se llame la página que tiene el formulario) con lo siguiente:
Para el segundo problema, en el form tienes que poner method="post", para que envíe los datos a la variable $_POST que luego utilizas para rescatarlos. Además, en los inputs (y el textarea) tienes que poner el atributo name que luego vayas a utilizar para rescatar el valor. Por ejemplo, si haces $_POST['nombre'] es porque el input del nombre tiene el atributo name="nombre". Si no, no te va a funcionar.
Un saludo.