buenas,
es simple... fijate el INPUT de tipo submit tiene un nombre y un valor. hasta ahí bien. al tener un name, el navegador envia dicho control junto con su valor. por tanto, en tu script estas comparando si el valor del parámetro button (que pertenece al input submit) es igual a "hola". dicho valor no es el mismo que representa en html. o sea,
"dale click aqui" != "hola".
otro detalle... estas haciendo una petición GET, por lo cual tienes que pasar los parámetros en la misma url de la petición. ahora mismo la url no tiene ningún parámetro. tienes que componer los parámetros en formato URL query y agregarlo al argumento url de ajax. es decir, tienes que formar una url tal que así: script.php?parameter=value. adicionalmente, en el script php estas buscando el parámetro por POST. tienes que decidirte si por post o get.
