Código PHP:
session_set_cookie_params(0);
session_start();
Prueba con eso. Tienes que escribirlo exactamente antes del session_start.
Según tengo entendido, lo que hace eso es establecer el tiempo de vida de la "cookie" a 0, y por tanto no se cerrará la sesión hasta que cierre la página (navegador).
Todavía no he probado que esto sea cierto, si lo pruebas tú y me dices algo perfecto ;D