como mostrar el texto de abjo de un div

[kseso?]

Es el comportamiento lógico. El navegador va colocando el contenido según lo encuentra en el html.

Así que creo que no es una cuestión de css. Más bien de programación del chat, invertir el cómo y dónde aparece el nuevo contenido.
Y esa suele ser la operativa usual (de los pocos chat integrados que conozco) que recuerdo haber visto.

Aunque siempre puede crear una caja con el scroll (y tamaño definido) y la que tiene el contenido posicionarla de forma absoluta dentro de ella en la posición que desee.